裁縫職人の正方形

一辺の長さが正の整数 𝑎 である正方形の形をした布のことを 𝑎正方形布 と呼ぶことにする。 特に 𝑎 = 1 のとき、それを 単位布 と呼ぶことにする。

𝑦正方形布が 𝐷 枚ある。裁縫職人は、これらの正方形の布をそれぞれ、複数の単位布になるように裁断する。 その後、裁断してできた複数の単位布と、加えてもう一枚の単位布を適切に縫い合わせることで、 𝑥正方形布を作ろうと考えている。 このとき、 𝐷 の値によっては、単位布を縫い合わせても 𝑥正方形布ができない場合がある。

例として 𝐷 = 2 の場合を考える。 𝑦 = 2 とすると、 2正方形布 2 枚から得られる単位布は 8 枚であり、ここにもう一枚の単位布を合わせて 9 枚の単位布が得られる。 9 枚の単位布を合わせれば 3正方形布が作れるため、 𝐷 = 2 の場合は 𝑥 = 3, 𝑦 = 2 が成り立つ。 反面、例えば 𝐷 = 4 の場合では、 𝑦 がいかなる値を取っても 𝑥正方形布を作ることはできない。

𝐷 = 61 のとき、単位布を縫い合わせることで 𝑥正方形布ができるかできないかを判定せよ。 できない場合は「NO」と出力し、できる場合は 𝑥 が最小となる場合の 𝑥, 𝑦 の組を求めよ。 また、𝐷 = 991 の場合についても同様のことを調べよ。

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